لینک خرید در پایین صفحه قرار دارد.

فایل آماده پرینت(با فرمت ورد)

تعداد صفحات:13

اصل توازي

پروكلوس1 : پروكلوس (410تا485 بعد از ميلاد)، اطلاعات ما در زمينه هندسه يونان است، از اصل توازي بدين گونه انتقاد كرده است : ‹‹اين را بايد حتي از شمار اصول موضوعه بيرون آورد. زيرا اين قضيه اي است كه دشواريهاي زيادي در بردارد. و بطلميوس در كتابي به گشودن آنها همت گمارده است... اين حكم كه ، چون (دوخط) را هر چه بيشتر امتداد دهيم بيش از بيش بهم نزديك مي شوند و سرانجام همديگر را مي برند، پذيرفتني است ولي نه هميشه ‹‹پروكلوس يك هذلولي را مثال مي زند كه آن اندازه كه بتوان تصور كرد به مجانبهايش نزديك مي شود بي آنكه هرگز آنها را ببرد. اين مثال نشان مي دهد كه لااقل ممكن است تصوري مخالف نتيجه گيريهاي اقليدس هم داشت. پروكلوس مي گويد: ‹‹پس روشن است كه بايد براي اين قضية كنوني برهاني بيابيم و اين، مخالف ماهيت خاص اصول موضوعه است.››

 شكل 1

تا آنجا كه مي دانيم نخستين تلاشي كه براي اثبات به عمل آمده از آن بطلميوس بوده است. او ، بي آنكه خود متوجه باشد، اصل توازي هيلبرت را پذيرفته است.

پروكلوس سعي كرده است اصل توازي را چنين ثابت كند: دو خط موازيm,l داده شده اند. فرض كنيم خطnخطm را در نقطةp مي برد. مي خواهيم نشان دهيم كهn خطl را هم مي برد. فرض مي كنيمQ پاي عمودي باشد كه ازp برl وارد شده است. اگرn برPQ منطبق باشد، پسl را درQ بريده است و الا نيمخطي مانندPY ازn بينPQو نيمخطي مانندPXازm قرار دارد . فرض كنيد كهX پاي عمود مرسوم ازY برm است.

 شكل 2

حال ، وقتي نقطه Y بر خط n از نقطه P بينهايت دور شود، پاره خط XY اندازه اش بينهايت بزرگ مي شود و سرانجام از پاره خط PQ تجاوز مي كند. بنابراين ، Y بايد از l بگذرد و در طرف ديگر آن قرار گيرد، يعني n بايد l را ببرد.

مطالب بند بالا جان كلام و برهان پروكلوس است؛ برهان نسبتاً پيچيده اي است كه شامل حركت و پيوستگي است. از آن گذشته ، درستي هر مرحله از برهان را مي توان نشان داد جز اينكه نتيجه اي كه مي خواهيم از آن به دست نمي آيد!

چگونه مي توان درستي آخرين مرحله را ثابت كرد؟ فرض مي كنيم عمود YZ را از Y بر l فرود آورده ايم. آن وقت شما مي توانيد بگوييد كه (1) Z,Y,X بر يك قرار دارند، و (2) XZ~PQ . بنابراين ، هنگامي كه XY از PQ بزرگتر مي شود، بايد از XZ هم بزرگتر شود. و در نتيجه Y بايد در طرف ديگر l قرار گيرد. در اينجا نتايج ، واقعاً از احكام (1)و(2) حاصل مي شوند. مشكل كار اين است كه اثباتي براي درستي اين دو حكم وجود ندارد!

1proclus